Математическое мышление и Природа
...Один мой друг, геолог, высказал следующую мысль. Многие виды гибли из-за гипертрофированного развития признаков, первоначально очень полезных для их выживания (например, громадная броня гигантских третичных ящеров). Для Homo sapiens эту роль может сыграть его интеллект: способность к холодному рациональному мышлению, не ограниченному моралью и жалостью. Математика, несомненно, как-то связана со способностью к такому алгоритмическому, машинообразному мышлению. С другой стороны, она глубоко связана с эстетическим чувством, которое способно служить противоядием для этой тенденции. И математик имеет свободу выбора принять участие в том или другом направлении развития человечества
И.Р. Шафаревич. Математическое мышление и Природа
https://web.archive.org/web/20160425120134/http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_421.htm
Доклад Математическое мышление и Природа И.Р. Шафаревича, прочитанный 28 сентября 1993 г. на собрании Японского математического общества
Для меня большая честь - представить этот доклад вниманию вашего общества. Я сердечно благодарен за предложение прочесть его. Вопрос, который я собираюсь обсудить, можно коротко сформулировать в виде следующих четырех предложений
1 Человечество переживает сейчас всеобъемлющий экологический кризис. Все слышали о нем и его возможных последствиях. Исчезновение многих видов животных, уничтожение лесов, которыми дышит планета, потепление атмосферы, которое превратит за 30 или 50 лет многие сейчас плодородные земли в пустыни и вызовет таяние арктических льдов, так что океан может затопить целые страны, накопление радиоактивных отходов, которые будут оставаться радиоактивными еще тысячи и десятки тысяч лет и т.д. - все это представляет реальную угрозу природе, и человеку в том числе
2 Этот кризис не является результатом какой-то случайной, легко исправимой ошибки. Напротив, он является логическим следствием развития некоторой, очень специфической цивилизации, распространившейся сейчас по всему миру. Она называется технологической цивилизацией, т.к. основывается на максимальном использовании техники во всех областях человеческой деятельности. Техника всегда считается более надежной и эффективной, чем природа, и всюду вытесняет природу, если это только возможно. Один социолог описал эту цивилизацию как попытку человека уничтожить природу, заменив ее искусственной природой - техникой
3 Идеологической основой технологической цивилизации является научная идеология, или сциентизм. Она основана на вере в существование небольшого числа точно формулируемых законов природы; на их основе все в природе предсказуемо и манипулируемо. Космос рассматривается как гигантская машина, которой можно управлять, если известен принцип ее функционирования. Эта научная идеология (как заметил еще Э. Мах) часто играет роль религии технологической цивилизации
4 Основная догма научной идеологии - это вера в математизацию. Она утверждает, что всё (или, по крайней мере, всё существенное) в природе может быть измерено, превращено в числа (или другие математические объекты), и что путем совершения над ними различных математических манипуляций можно предсказать и подчинить своей воле все явления природы и общества. Кант говорил, что каждая область сознания является наукой настолько, насколько в ней содержится математика. Пуанкаре писал, что окончательная, идеальная фаза развития любой научной концепции - это ее математизация. В некотором смысле можно сказать, что мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею.
...Сейчас школьник старших классов может стандартным приемом вычислить интеграл от x^ndx при любом n. Более того, такое вычисление легко совершает компьютер. Возникает чувство, что вся математика может быть сведена к работе грандиозного компьютера. Но большинство математиков, несомненно, согласятся с тем, что их работа в принципе отличается от работы компьютера. Этот вопрос был предметом интересной дискуссии между Пуанкаре и Гильбертом в начале нашего века. Та же проблема ставилась тогда иначе: формализуема ли математика? Ответ Гильберта был: да - и на этом пути он надеялся получить доказательство непротиворечивости арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним. Позже теорема неполноты Гёделя, по-видимому, решила вопрос в пользу Пуанкаре. Пуанкаре подчеркивает роль интуиции в математическом рассуждении. Он говорит, что математическое рассуждение имеет род творческой силы и тем отличается от цепи силлогизмов. Особенно он выделяет математическую индукцию, которая, по его словам, содержит бесконечное число силлогизмов, как бы сжатое в одной формуле. Когда он говорит, что математик в принципе отличается от шахматиста, что он не может быть заменен никаким механическим устройством, то кажется, что ему лишь не хватало нужного термина, чтобы сформулировать свою мысль короче: математик не может быть заменен компьютером.
Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду содержащегося в нем эстетического элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей математика дается с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в структуру, обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо увидеть эту красоту, а это требует эстетических способностей, которыми не все обладают. Пуанкаре предлагает очень интересную схему математического творчества. Он связывает его с делением человеческой психики на сознательную и бессознательную части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они не достигают сознания, только очень небольшая их часть расссматривается сознанием. Чтобы достигнуть сознания, они проходят отбор, основанный на эстетическом принципе. Некий эстетический барьер позволяет лишь очень небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там как готовая идея решения, причем это сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остается лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.
Эта схема, очевидно, напоминает картину эволюции, основанную на мутациях и естественном отборе, и, вероятно, возникла под ее влиянием.
Гораздо позже, видимо, не зная об идеях Пуанкаре, Конрад Лоренц высказал аналогичные мысли. Он рассматривает жизнь как процесс обучения, познавательный процесс. Он подчеркивает черты, общие обоим явлениям - мышлению и эволюции, - такие, как творческое озарение, творческий акт, когда после долгих поисков почти мгновенно возникает новая идея или новый вид. Но можно эту аналогию обратить и взглянуть на эволюцию как на результат деятельности некоего гигантского интеллекта или души Природы.
Концепция anima mundi (души Природы) возникала в различных философских и мистических учениях: у Платона, в христианстве. Когда в молодости я читал работы Пуанкаре, мне пришла в голову мысль об эволюции как процессе мышления; она показалась очень привлекательной. Только много позже я узнал, что еще до Дарвина знаменитый естествоиспытатель Л. Агассиз рассматривал эволюцию как мышление Бога. Но если продолжить эту аналогию, то насколько красивее окажется точка зрения Пуанкаре сравнительно с принятой сейчас концепцией! Решающим фактором в эволюции оказывается не борьба за существование, а эстетический критерий.
Тогда становится понятным, почему Природа порождает не только прекрасные растения и животные, но и решения проблемы адаптации видов, которые по красоте не уступают самым совершенным научным теориям.
Но профессионалам-математикам вряд ли нужны какие-либо аргументы в пользу важности эстетического элемента в математике: в разговорах математика все время можно услышать: изящное доказательство, прекрасная статья...Каждый математик знает, что в его работе эстетическое чувство не только дает удовлетворение, помогающее и облегчающее необходимые усилия, но и является рабочим средством, не менее важным, чем чисто логическое рассуждение. Он не будет следовать некоторой линии мыслей, т.к. она приводит к несимметричным, некрасивым формулам, и он будет верить в некоторую гипотезу и не пожалеет сил для ее доказательства только потому, что она очень красива.
С этой точки зрения математика играет противоположную анти-технологическую роль. Мы видим, как под воздействием технологической цивилизации красота все больше исчезает из нашей жизни: из живописи и музыки, из архитектуры наших городов и из окружающей нас природы в виде прекрасных бабочек, цветов и птиц. Математика (вместе с математической физикой) остается почти единственным островом, где это загадочное явление сохраняется в полной силе. Пилат спросил Иисуса: Что есть истина?. Явление красоты не менее загадочно. Очевидно, что это - одна из фундаментальных форм взаимодействия с внешним миром, столь же существенная для большинства живых существ, как феномен истины и морали - для человека.
Один мой друг, геолог, высказал следующую мысль. Многие виды гибли из-за гипертрофированного развития признаков, первоначально очень полезных для их выживания (например, громадная броня гигантских третичных ящеров). Для Homo sapiens эту роль может сыграть его интеллект: способность к холодному рациональному мышлению, не ограниченному моралью и жалостью. Математика, несомненно, как-то связана со способностью к такому алгоритмическому, машинообразному мышлению. С другой стороны, она глубоко связана с эстетическим чувством, которое способно служить противоядием для этой тенденции. И математик имеет свободу выбора принять участие в том или другом направлении развития человечества
