Стюарт Иэн - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

(часть1)

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики.

   Сегодня этот язык(Эварист Галуа ), известный как «теория групп», используется во всей чистой и прикладной математике, причем отвечает за формирование закономерностей в физическом мире.

Симметрия играет центральную роль на передовых рубежах физики, в квантовом мире сверхмалого

и релятивистском мире сверхбольшого.

Симметрия может даже проложить дорогу к долгожданной «Теории Всего» — математическому объединению двух ключевых направлений в современной физике.

И все это началось с простого вопроса по алгебре — вопроса о решениях математических уравнений, то есть о нахождении «неизвестного» числа на основе нескольких математических подсказок.
    Симметрия — это не число и не форма, но специальный вид преобразований, то есть некоторый способ «шевелить» объект.

Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.

 

 Например, квадрат выглядит так же, как раньше, если его повернуть на прямой угол.

 

В качестве доминирующей идеи симметрия появилась не так, как можно было бы этого ожидать, — т.е. не через геометрию.

 

Вместо этого глубинно прекрасная и жизненно необходимая концепция симметрии, которой сегодня пользуются математики и физики, пришла к нам из алгебры.

    Галуа открыл, что невозможность решения уравнения пятой степени вытекает из симметрий этого уравнения.

 

Если эти симметрии проходят, так сказать , тест Галуа (это означает, что они устроены некоторым очень специальным образом), то уравнение можно решить с помощью алгебраической формулы.

Если симметрии не проходят тест Галуа, то никакой такой формулы нет.
   Общее уравнение пятой степени нельзя решить с помощью формулы, потому что у него неправильные симметрии.

Сюжет группы, т.е. математического «исчисления симметрий». Галуа перенял древнюю математическую традицию — алгебру — и развил ее, создав новый инструмент для изучения симметрии.

Математическая симметрия играет фундаментальную роль как в теории относительности, так и в квантовой теории — в двух областях, демонстрирующих значительный дефицит взаимно согласованных позиций, — так что особую ценность приобретают любые, пусть даже совсем небольшие области, в которых такой согласованности удается добиться.

Возможные структуры пространства, времени и материи определяются своими симметриями, и некоторые из наиболее важных возможностей могут быть связаны с исключительными структурами в алгебре.

 

  Самое важное из достижений вавилонских математиков — это начало понимания того, как решать уравнения.

   Уравнения — это способ, которым математики находят значение некоторой неизвестной величины, исходя из косвенных данных.

«Вот список известных фактов о неизвестном числе; найдите это число».

Уравнение, тем самым, есть нечто вроде головоломки, в фокусе которой — число.

\Нам не говорят, что это за число, а сообщают про него какие-то полезные сведения.

Наша задача в том, чтобы решить головоломку, то есть найти неизвестное число.

Подобное занятие может показаться несколько отдаленным от геометрической концепции симметрии, но в математике идеи, открытые в одном контексте, как правило, проливают свет и на целый ряд других контекстов.

Именно наличие внутренних взаимосвязей придает математике такую интеллектуальную мощь.

 

Эвклид был «мягок и любезен со всеми, кто мог хоть в малейшей степени способствовать развитию математики, внимательно следил, чтобы никого каким-либо образом не задеть, но при этом был настоящим ученым, не превозносящим самого себя».

Один из учеников Эвклида спросил его, какова будет его выгода от изучения геометрии. Эвклид позвал раба со словами: «Дай этому человеку три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».

 

   Для Эвклида логические доказательства составляли существенное свойство геометрии, и доказательство поныне остается фундаментом всей математики.

Утверждение, у которого нет доказательства, воспринимается с подозрением вне зависимости от того, сколь много конкретных свидетельств говорит в его пользу и сколь важными могут оказаться его следствия.(!!!)

 

   Без доступа к роскоши наблюдений или экспериментов математикам приходится проверять свою работу, исходя из ее внутренней логики.

Чем важнее следствия из некоторого утверждения, тем важнее убедиться, что это утверждение истинно.

Так что доказательство становится даже еще важнее, когда всем хочется, чтобы данное утверждение было верным, или когда из его истинности будет вытекать огромный объем следствий.
   Доказательства не могут висеть в воздухе, и их нельзя до бесконечности возводить к другим, логически им предшествующим.

Где-то у них должно быть начало, и начало это по определению состоит из вещей, которые не доказываются и никогда не будут доказываться.

Сегодня мы называем эти недоказываемые исходные предположения аксиомами.

Для математической теории аксиомы представляют собой правила игры.

 

    Всякий, кто возражает против аксиом, может при желании их изменить; однако результатом таких действий будет совсем другая история.

Математика не утверждает, что некоторое утверждение истинно:

она утверждает, что если принять ряд предположений, то данное утверждение должно быть их логическим следствием.

Отсюда не следует, что аксиомы не подлежат изменениям.

Математики могут обсуждать вопрос о том, предпочтительна ли данная система аксиом по сравнению с другими в отношении тех или иных целей, или же вопрос о том, представляет ли данная система какой-нибудь интерес сама по себе.

 Но эти дискуссии не касаются внутренней логики любой из выбранных систем аксиом и получаемых из них следствий.

Они касаются лишь того, какие из этих систем заслуживают внимания, вызывают интерес или представляют собой хорошее развлечение.

 

   Встань! Бросил камень в чашу тьмы Восток!
   В путь, караваны звезд! Мрак изнемог…
   И ловит башню гордую султана
   Охотник-Солнце в огненный силок.

   Для большинства из нас имя Омара Хайяма неразрывно связано с его исполненными иронии четверостишиями «Рубай», а конкретнее — с их изящным переводом на английский, сделанным Эдвардом Фитцджеральдом.

Однако историки математики полагают, что у Хайяма есть еще больше оснований для притязаний на славу. Он занимает видное место среди персидских и арабских математиков.

 

   К числу великих достижений Хайяма относится решение кубических уравнений, выполненное в рамках почтенных методов греческой геометрии.

Его методы по необходимости вышли за рамки циркуля и линейки, которыми молчаливо ограничивалась геометрия Эвклида, поскольку эти средства просто не пригодны для решения данной задачи — обстоятельство, о котором греки сильно подозревали, но не могли доказать из-за отсутствия необходимого подхода, лежащего в сфере алгебры, а не геометрии.

Он использовал специальные кривые, называемые «коническими сечениями» — по той причине, что их можно построить, пересекая конус плоскостью.

 

Тайная истина об уравнениях состоит в том, что они представляют собой простой, ясный язык для описания целого ряда «рецептов» по вычислению разных вещей.

 

Символьные обозначения вошли в алгебру в работах греческого математика Диофанта примерно около 500 года.

 

 
   Алгебра реально появилась на математической сцене в 830 году, когда основное действие переместилось из греческого мира в арабский.

В тот год астроном Мохаммед ибн Муса аль-Хваризми написал книгу, озаглавленную «Аль-Джабр в'аль Мукабала», что переводится примерно как «восстановление и упрощение»^[10]. Слова эти относятся к стандартным способам обращаться с уравнениями для приведения их к виду, удобному для решения. Из «аль-джабр» происходит современное слово «алгебра».

 

Архимед развил теорию этих кривых, а Аполлоний Пергский систематизировал и обобщил эту тему в своей книге « Конические сечения».

Что особенно интересовало Омара Хайяма — это открытие греками того факта, что конические сечения можно применить к решению определенных кубических уравнений.
   Конические сечения называются так потому, что их можно получить, пересекая конус плоскостью.

Точнее говоря — двойной конус, похожий на два рожка мороженого, соединенных своими острыми концами. Одинарный конус образован набором отрезков прямых линий, которые все пересекаются в одной точке и проходят через определенную окружность — «основание» конуса.

Но в греческой геометрии прямолинейный отрезок всегда можно продолжить неограниченно далеко, и в результате получается двойной конус.
    Три основных типа конических сечений — это эллипс, парабола и гипербола.

Эллипс представляет собой замкнутую овальную кривую, которая возникает, когда секущая плоскость проходит только через одну половину двойного конуса.

 (Окружность является частным случаем эллипса и получается, когда секущая плоскость в точности перпендикулярна оси конуса.)

Гипербола состоит из двух симметрично расположенных незамкнутых кривых, которые в принципе уходят на бесконечность; она возникает, когда секущая плоскость проходит через обе половины двойного конуса.

 Парабола является переходной формой — это одна незамкнутая кривая, получающаяся, когда секущая плоскость параллельна какой-либо из прямых, лежащих на поверхности конуса.
   На большом расстоянии от вершины конуса кривые, составляющие гиперболу, проходят все ближе и ближе к двум прямым линиям, которые параллельны тем прямым, где конус пересекла бы параллельная плоскость, проходящая через вершину. Эти прямые называются асимптотами.

рис;

proshkolu.ru/user/marinamalinka/file/6632479/