Игорь Иванович Бабанов

КАБИНЕТ

Вы здесь:

Игорь Иванович Бабанов / Блог / Геометрия Лобачевского в проективной форме

19 ноября 2017, 13:27, автор - хозяин блога
Игорь Иванович Бабанов

Геометрия Лобачевского в проективной форме

Проективное мышление. Геометрия Лобачевского в проективной форме
Впуклые щеки,
Выпуклые дырки,
Пьем коктейль по-русски,
Прямо из бутылки

Модель Клейна, или модель Кэли–Клейна, модель диска Клейна, модель Бельтрами–Клейна, проективная модель — первая модель геометрии Лобачевского; с её помощью удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии. Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямую» а.
Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («абсолюта», в психологии - «идеала»). Точки абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда абсолюта, соединяющая две идеальные точки.
Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие внутренность абсолюта в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки А и В лежат на хорде PQ так, что порядок их следования на прямой PABQ, тогда расстояние l(A,B) в плоскости Лобачевского определяется логарифмически как
l(A,B) = - с/2 ln (PQAB) = с/2 ln (PQВA)
где (PQAB) обозначает двойное (сложное) отношение четырех точек, с — радиус кривизны плоскости Лобачевского.
Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку С, не лежащую на данной хорде PQ , проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.

...Так можно построить геометрию Лобачевского, если в качестве «абсолюта»выбрать невырожденную кривую второго порядка (или так называемую «овальную» кривую второго порядка).
Пусть на проективной плоскости задана овальная кривая второго порядка к(u), которую и будем считать абсолютом плоскости.
Эта кривая разделяет проективную плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Точки внутренней области будем называть «собственными» или «действительными» точками. Точки самой овальной кривой, служащей абсолютом плоскости, назовем «несобственными» или «бесконечно удаленными». Наконец, точки внешней области будем называть «идеальными». «Собственные» точки и являются точками неевклидовой геометрии.
В качестве «прямых» нашей неевклидовой геометрии будут служить хорды овальной кривой (лежащие в ее внутренней области).
Так как концы этих хорд являются несобственными точками, то «прямые» неевклидовой геометрии являются открытыми отрезками. В указанной системе (собственных) точек и прямых могут быть сохранены те же отношения принадлежности, порядка и непрерывности, которые имеют место как в геометрии Евклида,
так и в геометрии Лобачевского.
Так, например, придавая понятию «принадлежность» обычный смысл, будем иметь: «две различные точки А и В определяют единственную принадлежащую им прямую (АВ)».
«Существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой», и т.д.
Далее, можно установить обычные как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского отношения порядка. Точка на прямой разбивает последнюю на две части. Две точки А, В прямой устанавливают порядок точек на прямой и определяют отрезок АВ. Прямая делит неевклидову плоскость (под которой мы разумеем внутреннюю область овальной кривой к(u) на две части. Задание точки С, не лежащей на этой прямой, определяет соответствующую ей часть плоскости.
Сохраняется в рассматриваемом геометрии и свойство непрерывности точек на прямой, непрерывности всей неевклидовой плоскости.

Однако с точки зрения аксиомы о параллельных мы обнаружим, что в построенной геометрической системе имеет место аксиома Лобачевского, если будем называть «параллельными» две прямые, пересекающиеся в несобственной или бесконечно удаленной точке. В самом деле, пусть имеем прямую A(u)B(u) и не лежащую на ней точку С (черт. 292). В таком случае через точку С можно провести две прямые, параллельные прямой A(u)B(u), а именно прямые СА(u) и СВ(u). Эти две прямые разбивают пучок прямых с центром С на две части: 1) прямые, пересекающие прямую А(u)B(u), как например прямая СМ, и 2) прямые, не пересекающие прямой A(u)B(u), к числу которых принадлежит, например, прямая CN(u).
Таким образом, в рассматриваемой геометрической системе имеет место аксиома о параллельных Лобачевского.
… Отметим только, что осуществление геометрии Лобачевского в проективной форме является безупречным доказательством ее непротиворечивости. К этому надо добавить, что и третья геометрическая система, известная под названием геометрии Римана, может быть построена в проективной форме, если в качестве абсолюта плоскости будет принята мнимая кривая второго порядка.
Благодаря этому стало возможным сравнительное изучение трех геометрических систем (Евклида, Лобачевского и Римана) в проективной форме. Большое принципиальное значение такого исследования является очевидным.
Н.Ф. Четверухин. Проективная геометрия. Курс для педагогических институтов. М. Учпедгиз, 1953; М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1961
vk.com/doc399489626_451518476
http://www.twirpx.com/file/70636/
Настоящее изложение относится к так называемой неевклидовой геометрии Гаусса, Лобачевского, Больяи; оно затрагивает также родственные исследования об основах наших геометрических представлений, предпринятые Риманом и Гельмгольцем.
Цель его заключается не столько в исследовании философских построений, приведших к этим теориям, сколько главным образом в том, чтобы дать новое наглядное изложение математических результатов работ, относящихся к теории параллельных, и сделать их доступными ясному пониманию.
Путь к этому ведет через проективную геометрию. Действительно, можно вслед за Кэли построить в пространстве проективное мероопределение, использующее произвольную поверхность второго порядка в качестве так называемой фундаментальной поверхности. Это мероопределение в зависимости от вида соответствующей поверхности второго порядка дает картину различных теорий о параллельных, выдвинутых в вышеназванных работах. Оно не только является их изображением, но, как будет показано, вскрывает их внутреннюю сущность...
Феликс Клейн. О так называемой неевклидовой геометрии. 1871
vk.com/doc399489626_454288716