РигВеда I,152. К Митре-Варуне
Тема - Митра и Варуна. Размер - триштубх. Этот гимн выделяется глубиной мысли и совершенством художественной формы. Митра и Варуна прославляются как Адитьи, управляющие вселенским законом (rtа-), который противопоставляется беззаконию, хаосу (аnrta-) (стих 1).
Проявления вселенского закона представлены в виде загадок, истолкование которых может быть неоднозначным (стихи 2-6). Параллельно развивается тема сакральной речи - способа постижения вселенского закона, и подчеркивается, что ею владеют только посвященные. Гимн заканчивается молитвой с просьбой о ниспослании благ (стих 7).
1а-b...одежды из жира (vаstrаni pivasа). - Подразумевается дождь. Символическая интерпретация этой темы вновь возникает в конце гимна (7d). В строке b образ дождя приобретает новое развитие: мысли - непрерывные потоки.
lb...мысли - mаntavah
2а...из них...- т.е. богов.
2b...высказывание - mantrа
2с Грозный четырехгранник побивает трехгранник (?) - trirасrim hanti cаturaсrir ugro - (например, в проективной геометрии численный инвариант определяют четыре точки, а не три, как в аффинной, и не две, как в метрической геометрии)
Кстати на древне-ведийском:
Ади - Один; Пурва - Первый
Два, дви, двая - Два; две - двое
Эторон - Второй
Двандва - Двойственный
Три - Три; Трая - Трое
Трита - Третий; Трика - Тройка;
Трис - Трижды; Траяс - Трое
Чатур, чатвар - Четыре, четверо
Чатуртха - Четвертый
Дашан - Десять; Дашатара - Десятеро
Шат, шата - Сто, сотый
Шатакрату - Стократный - свойство Индры)
1 Вы оба одеваетесь в одежды из жира.
Ваши непрерывные мысли - непрерывные потоки.
Вы подавили все беззакония.
О Митра-Варуна, вы следуете закону.
2 Не каждый из них поймет это.
Истинно произнесенное поэтами потрясающее высказывание:
Грозный четырехгранник побивает трехгранник.
Первыми состарились хулители богов
...
7 Я хотел бы, о Митра-Варуна, с помощью поклонения (и вашего) содействия
Повергнуть вас, о двоица богов, к наслаждению (моими) жертвенными возлияниями.
Наше священное слово да одержит верх в состязаниях!
Нам (пусть будет) небесный дождь, ведущий к успеху!
РигВеда. Мандалы I-X. перевод Т.Я. Елизаренковой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_863.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_622.htm Предисловие к шестому изданию
Предлагаемый курс проективной геометрии представляет собой переработку книги «Высшая геометрия» того же автора, выполненную в соответствии с действующей программой этого курса для педагогических институтов.
Изложение курса начинается главой об аффинной геометрии, которую следует рассматривать как вводную, позволяющую наиболее простым образом (при помощи параллельного проектирования) познакомить читателей с некоторыми видами геометрических преобразований и их инвариантами.
Последующие главы курса посвящены развитию основных понятий и систематическому изложению содержания проективной геометрии. Изучение проективной геометрии начинается с операции центрального проектирования и «проективных» свойств фигур, т.е. таких их свойств, которые сохраняются при всяком центральном проектировании.
При этом оказывается необходимым произвести некоторую реконструкцию евклидова пространства путем дополнения его новыми, «несобственными» элементами. Такое геометрическое пространство принадлежит к числу так называемых «проективных» пространств и обладает всеми свойствами, необходимыми для обоснования и развития проективной геометрии.
Предлагаемая концепция изложения курса проективной геометрии обладает, как нам представляется, некоторыми педагогическими преимуществами и позволяет тесно увязать новые понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии, что имеет большое значение для будущих преподавателей математики.
В отношении композиции и расположения материала автор придерживался той точки зрения, что педагогически целесообразно первую часть книги посвятить преимущественно изложению фактического материала, нового для студентов (аффинная геометрия, проективная геометрия), отнеся вопросы критико-методологического характера в их связи с преподаванием элементарной геометрии главным образом ко второй части книги (в частности, к главе VI, трактующей о сравнительном изучении проективной, аффинной и метрической геометрий. Целесообразность такого построения курса вытекает, с одной стороны, из необходимости для читателей обладать фактическими знаниями, чтобы перейти ко второй группе вопросов, а с другой — из естественного стремления студентов ознакомиться в первую очередь с новыми и увлекательными идеями проективной геометрии. Опыт показывает, что вкус и желание обсуждать с этих новых позиций знакомый им еще из средней школы материал элементарной геометрии и интерес к вопросам преподавания этой дисциплины приходят несколько позднее.
Отметим следующие моменты в развитии курса.
а) В обыкновенном евклидовом пространстве с помощью средств элементарной геометрии излагаются основные понятия аффинной геометрии. Строится учение об аффинных преобразованиях и их инвариантах в синтетическом и аналитическом изложении (глава I).
б) Для изложения основных понятий и фактов проективной геометрии является необходимость в конструировании проективного пространства. Это достигается путем присоединения несобственных элементов к евклидову пространству. Получается новая геометрическая модель пространства, пригодная для изучения проективных свойств фигур (глава II).
в) Такое построение проективного пространства определяет целесообразный метод изложения. Возможно использовать при развитии важнейших идей проективной геометрии уже имеющиеся понятия элементарной геометрии, в том числе и метрические. В частности, проективное соответствие определяется при помощи сложного отношения (Штейнер), хотя подход к этому понятию осуществляется через рассмотрение цепи перспектив (Понселе) (глава III).
г) Принимая евклидово пространство за исходный пункт для построения проективного пространства, можем отказаться от аксиоматического принципа в этом построении.
Однако в соответствующем разделе книги рассмотрены аксиомы принадлежности, порядка и непрерывности, могущие служить для независимого построения проективного пространства. Это рассмотрение позволяет также оттенить ту симметричность, которую приобрели основные предложения (аксиомы) от присоединения несобственных элементов, что имеет важное значение для обоснования принципа двойственности. «Проверка» выполнимости проективных аксиом в построенном пространстве полезна также для изучающего предмет с точки зрения лучшего «освоения» несобственных элементов, которые в дальнейшем изложении проективной геометрии ничем не отличаются от собственных элементов пространства (глава II).
д) На основе указанных соображений развивается проективная геометрия на плоскости (учение о проективных соответствиях форм первой ступени, проективная теория кривых второго порядка) (главы III, IV).
е) Для изучения проективных соответствий форм второй ступени в общем виде было использовано определение проективного соответствия через гармонизм (Штаудт). Эквивалентность такого определения с определением Штейнера показана в § 47. Следует, однако, отметить, что при этом задача чисто геометрического (без применения метрических понятий) обоснования проективной геометрия не ставилась, хотя о ней и было упомянуто в § 47.
Таким образом, ранее принятый метод изложения был сохранен.
ж) В главе V заканчивается изложение фактического материала. Следующая глава (VI) ставит своей целью систематизировать полученные сведения, дать сравнительную характеристику каждой из трех геометрий (проективной, аффинной и метрической). Это достигается с помощью построения всех трех геометрий в общей проективной форме. Более детально рассматривается с этой проективной точки зрения построение аффинной и метрической геометрий, так как освещение различных вопросов элементарной метрической геометрии имеет прямое отношение к будущей работе студентов в школе в качестве преподавателей математики.
Методологически это проводится следующим образом. Сперва исследуются уже знакомые читателю основные понятия аффинной и метрической геометрий с проективной точки зрения. В результате достигается истолкование этих понятий как проективных, если принять во внимание их отношение к абсолюту плоскости, (несобственная прямая и ее абсолютная инволюция, соответствующая парам ортогональных направлений). В таком именно плане изучаются понятия параллельности и перпендикулярности прямых, простое отношение трех точек прямой, конгруентность, гомотетия и подобие геометрических фигур, геометрические построения и другие вопросы элементарной геометрии.
На основании проведенного истолкования этих понятий метрической геометрии с проективной точки зрения становится возможным построение аффинной и метрической геометрий на проективной плоскости путем фиксации произвольной прямой в качестве «несобственной» прямой и произвольной эллиптической инволюции на ней в качестве «абсолютной» инволюции.
Такое построение имеет большое принципиальное значение, так как оно уже совершенно не связано с особенностями проективной плоскости, имеющейся в нашем распоряжении (евклидова плоскость, дополненная несобственной прямой). Благодаря этому все выводы, вытекающие из такого построения аффинной и метрической геометрий в проективной форме, становятся особенно убедительными. Вскрывается самая сущность аффинных и метрических свойств фигур.
з) Каждая из построенных геометрий определяется своей группой (Клейн). Получается следующая групповая классификация проективных преобразований:
{К} <- {А} <- {М} <- {W}
K - Проективная Группа.
А – Аффинная Группа.
М – Метрическая Группа.
W – Группа движений
и) В конце главы VI дается краткий очерк аналогичного исследования и построения проективной, аффинной и метрической геометрий в пространстве (глава VI, § 77).
к) Наконец, в отдельном параграфе этой главы показана возможность построения геометрии Лобачевского в проективной форме, если в качестве абсолюта плоскости задана овальная кривая второго порядка (§ 78).
л) Главы I—VI составляют основную часть книги, охватывающую программу курса проективной геометрии в педагогических институтах. Изложение проводится преимущественно синтетическим методом, но при изучении общих вопросов (аффинные преобразования, проективные преобразования и т.д.) параллельно дается аналитическое изложение. В частности, читатель знакомится с расширением понятия координат (аффинные, проективные, однородные координаты).
м) Книга заканчивается историческим очерком (§ 79—82).
Следует заметить, что материал, изложенный в книге, в ряде случаев выходит за рамки официальной программы курса. Поэтому при пользовании книгой как учебником, в зависимости от подготовленности аудитории и времени, отведенного на занятия, могут быть сделаны некоторые сокращения.
Так, в главе I могут быть опущены параграфы об аффинном преобразовании пространства в себя.
В главе V можно исключить параграфы, посвященные исследованию общего уравнения второй степени и проективному образованию поверхностей второго порядка.
В главе VI может быть опущен параграф о построении проективной, аффинной и метрической геометрий в пространстве,
а также параграф о геометрии Лобачевского в проективной форме.
При подготовке книги к переизданию материал ее был обсужден на кафедрах геометрии Московского государственного педагогического института имени Ленина и Московского областного педагогического института.
Автор выражает благодарность всем лицам, сделавшим замечания и указания о желательных изменениях и исправлениях в книге. В частности, автор приносит свою искреннюю благодарность заведующему кафедрой геометрии Московского государственного педагогического института имени Ленина профессору Д.И. Перепелкину, которому он обязан рядом весьма ценных замечаний и советов относительно содержания книги.
Н. Четверухин. Москва, 15 сентября 1952г.
Н.Ф. Четверухин. Проективная геометрия. Курс для педагогических институтов. М. Учпедгиз, 1953; М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1961
vk.com/doc399489626_451518476
http://www.twirpx.com/file/70636/ Проективное мышление. Три шага четверукого Вишну
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_808.htm
