Математика и музыка
5. Пифагор и пифагорейское учение о числе
6. Пифагорова гамма
7. "Космическая музыка": от Платона до Кеплера
8. Математический строй музыки
9. Алгебра гармонии - темперация
10. Математика колебания струны: тайное становится явным
11. Пропорции музыкальной гаммы
12. Математический анализ музыки
А.В. Волошинов. 'Математика и искусство' - Москва: Просвещение, 1992 - 335с.
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000011/st009.shtml
...Важнейшей характеристикой музыкального звука является его высота, представляющая отражение в сознании частоты колебания звучащего тела, например струны. Чем больше частота колебаний струны, тем "выше" представляется нам звук.
Каждый отдельно взятый звук не образует музыкальной системы и, если он не слишком громкий, не вызывает у нас особой реакции. Однако уже сочетание двух звуков в иных случаях получается приятным и благозвучным, а в других, наоборот "режет" ухо. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, несогласованное - диссонансом. Ясно, что консонанс или диссонанс двух тонов определяются высотным расстоянием между этими тонами или интервалом.
Интервалом между двумя тонами назовем порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I(21) двух тонов - отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего:
...Рассмотрим теперь некоторую совокупность звуков, нажав, например, на фортепиано последовательно несколько клавиш. Скорее всего, у нас получится бессвязный набор звуков, как говорится, ни складу ни ладу. В других случаях звуки вроде бы подходят, ладятся между собой, но их совокупность покажется оборванной, незаконченной. Эту последовательность так и хочется продолжить до определенной ноты, которая в данной системе звуков кажется наиболее устойчивой, основной и называется тоникой. Итак, звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями, одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим - устойчивым.
...Но не только тоника и совокупность устойчивых и неустойчивых звуков определяют характер музыкальной системы. Легко убедиться, нажав подряд восемь белых клавиш от ноты до (гамма до мажор натуральный) и от ноты ля (ля минор натуральный), что эти гаммы звучат по-разному: первая - мажор - звучит бодро и светло, а вторая - минор - грустно и пасмурно. Следовательно, существует и другая характеристика системы звуков - наклонение: мажорное или минорное. Таким образом, мы приходим к одному из самых сложных понятий в теории музыки - понятию лада.
Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от основного устойчивого звука - тоники, и имеющая определенный характер звучания - наклонение. История музыкальной культуры знает множество ладов, свойственных разным народам и разным временам. Древние греки знали с десяток ладов, а лады некоторых восточных стран и Индии чрезвычайно сложны, своеобразны и непривычны для европейского слуха. Наиболее распространенные современные лады состоят из семи основных ступеней, каждая из которых может повышаться или понижаться, что дает еще пять дополнительных звуков. Таким образом, диатоническая (7-ступенная) гамма лада превращается в хроматическую (12-звуковую). Первой ступенью лада является тоника. Законы строения лада - это целая наука, краеугольный камень музыкознания, а изучению этих законов многие ученые и композиторы посвятили всю свою жизнь.
Нас же будут в первую очередь интересовать математические закономерности, описывающие строение лада, т.е. музыкальный строй. Музыкальным строем называется математическое выражение определенной системы звуковысотных отношений.
...Монохорд - однострунный - был одним из первых музыкальных инструментов древних греков. Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две отдельно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволявшая точно установить, какая часть струны звучит. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд покажется нам слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты.
Древние уверяли, что уже Пифагор Знал законы колебания струны монохорда и построения музыкальных созвучий (консонансов), однако запись об этих законах мы находим у пифагорейца Архита из Тарента (428-365гг. до н.э.), жившего на полтора столетия позже Пифагора. Архит был, безусловно, самым выдающимся представителем пифагорейской школы, другом философа Платона и учителем математика Евдокса (ок. 408 - ок. 355гг. до н.э.), государственным деятелем и полководцем. Многосторонность Архита поразительна: он решил знаменитую делосскую задачу об удвоении куба, заслуженно считался крупнейшим пифагорейским теоретиком музыки, первым упорядочил механику на основе математики и свел движения механизмов к геометрическим чертежам, работал над деревянной моделью летающего голубя. По мнению Ван дер Вардена, Архит является автором VIII книги "Начал" Евклида, в которой изложена арифметическая теория пропорций. Как государственный деятель Архит пользовался исключительным уважением: он семь лет подряд избирался стратегом, хотя по закону стратеги выбирались лишь на один год. Путем искусных дипломатических маневров Архит вызволил из плена Платона и тем самым спас жизнь великому философу. "Славный Архит, земель, и морей, и песков исчислитель..." - писал Гораций.
"Законы Пифагора - Архита", на которых основывалась вся пифагорейская теория музыки, можно сформулировать так:
1- Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l:
(6.2)
здесь а - коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны (толщины, материала и т.п.).
2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4.
Эти интервалы - "совершенные консонансы", и их интервальные коэффициенты позже получили латинские названия (Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени звукоряда, составляющей интервал с исходной ступенью: октава - восьмая, квинта - пятая, кварта - четвертая и т. д.):
октава
квинта
кварта
...Было замечено также, что наиболее полное слияние тонов дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3), т.е. чем меньше число n в отношении вида тем созвучнее интервал.
"Второй закон Пифагора - Архита" и сейчас кажется удивительным. (В его истинной природе мы разберемся в главе 10.)
Что же говорить о пифагорейцах, которых он просто привел в восторг! Здесь они нашли подтверждение всей своей философии: целые числа, более того, числа тетрактиса правят всем, даже музыкой! Пифагорейцы не заставили себя долго ждать и распространили закон музыкальных отношений всюду, где это возможно, в том числе и на строение вселенной (см. гл. 7).
Итак, если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l1, то вместе со всей струной монохорда длины l1 = 12l будут созвучны ее части длины l2 = 6l - звук на октаву выше (l2/l1 = l/2), l3 = 9l - звук на квинту выше (l3/l1 = 2/3) и l4 = 8l - звук на кварту выше (l4/l1 = 3/4). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка). Пифагорейцы считали, что тетрада - это "та гамма, по которой поют сирены". При настройке античной лиры, ставшей символом музыки, четыре ее струны обязательно настраивались по правилу тетрады, а настройка остальных струн зависела от лада, в котором предстояло на ней играть.
Но для античного мыслителя было мало установить численные значения изучаемых величин. Пифагорейский глаз и ум привыкли не только измерять, но и соизмерять, т.е. раскрывать внутренние связи между изучаемыми предметами, другими словами, устанавливать пропорциональные отношения. Архит был истинным пифагорейцем, и он установил пропорциональные отношения между основным совершенным консонансом - октавой, квинтой и квартой...
